Материал · Матанализ, 1 курс

Матанализ, занятие 2б: игра в эпсилон

Двадцать пять минут в начале следующего занятия. Никаких кванторов, никаких «для любого». Только числа, таблица и картинка. Формула появляется в самом конце как запись того, что он уже делал руками.

Почему первый заход не сработал — не потому что ученик не способен и не потому что объяснение было плохим. Определение предела — это правило игры для двух игроков, а его читают как утверждение про число. Пока он не сыграл сам, оно остаётся набором значков. Лекция в вузе дала формулу первой; предыдущее занятие, судя по всему, тоже. Сегодня наоборот.

Раунд 1 · он противник, ты отвечаешь (5 мин)

На экране одна строчка: $x_n = \dfrac1n$ и цель $a = 0$.

«Ты назначаешь точность — насколько близко к нулю ты хочешь, чтобы члены попали. Я обязан назвать номер, начиная с которого все члены попадают. Если не смогу — предел не ноль. Давай.»

Он: 0,1. Ты: «с одиннадцатого». Пусть проверит сам: $x_{11} = 0{,}0909$, $x_{12} = 0{,}0833$, $x_{50}$, $x_{1000}$ — все меньше 0,1? Да. Он: 0,01. Ты: «со сто первого». Он: 0,001. Ты: «с тысяча первого». Он: 0,0000001. Ты: «с десятимиллионного и одного».

Не объясняй, как считаешь. Пусть сам скажет: «ты просто переворачиваешь». Если не говорит — четвёртый раунд, пятый, пока не скажет. Это и есть момент, когда $N(\varepsilon)$ становится машинкой, а не буквой.

Записать на доске одну строчку без кванторов: $$\text{точность } \varepsilon \ \longrightarrow\ \text{номер } N = \tfrac1\varepsilon$$

Раунд 2 · меняемся, он отвечает (5 мин)

Теперь ты противник. Последовательность $x_n = \dfrac{2n+1}{n+1}$, он должен сначала угадать предел (2), потом отбиваться.

Сначала таблица, он заполняет:

Ты: «$\varepsilon = 0{,}1$». Он смотрит в таблицу: «с десятого» (или с девятого — не спорь о единице). Ты: «$\varepsilon = 0{,}01$». Он: «со сотого». Ты: «а для $\varepsilon = 0{,}0003$ — таблицы нет, как?»

Вот здесь он должен захотеть формулу сам. Расстояние $|x_n - 2| = \dfrac{1}{n+1}$; хотим $< \varepsilon$; значит $n + 1 > \dfrac1\varepsilon$, $n > \dfrac1\varepsilon - 1$. Для 0,0003 — с 3333-го. Пусть проверит: $x_{3334} = 6669/3335 = 1{,}9997$, расстояние $0{,}0003$ — ровно на границе; $x_{3335}$ уже внутри.

Формулу он вывел сам, потому что таблица кончилась. Это единственный способ, при котором вывод запоминается.

Раунд 3 · когда игра проигрывается (7 мин)

$x_n = (-1)^n$: $-1, 1, -1, 1, \dots$

«Давай проверим, не предел ли единица». Он противник? Нет — теперь он защищает $a = 1$, ты нападаешь. Ты: «$\varepsilon = 0{,}5$. Назови номер, начиная с которого все члены ближе 0,5 к единице». Он думает. Любой номер, который он назовёт, — за ним есть нечётное $n$, и там $x_n = -1$, расстояние 2. Проиграл. «Может, предел ноль?» Ты: «$\varepsilon = 0{,}5$». Все члены на расстоянии 1 от нуля. Проиграл сразу. «Может, 0,5?» — расстояния 0,5 и 1,5. Проиграл.

Вывод, который он должен сформулировать сам: никакое число не подходит, потому что для любого кандидата найдётся точность, при которой защита невозможна. Это и есть «расходится». А фраза «есть такое $\varepsilon$, что для любого $N$ найдётся $n > N$ снаружи» — это просто запись того, как он только что проигрывал.

Контраст, который стоит проговорить: в раунде 1 защита выигрывала при любой точности; в раунде 3 нападение выигрывало при одной фиксированной точности 0,5. Предел есть $\iff$ защита выигрывает всегда.

Раунд 4 · картинка с тремя полосами (4 мин)

Один график: точки $x_n = \dfrac1n$ над номерами 1…15. Три горизонтальные полосы вокруг нуля: $\varepsilon = 1$, $0{,}3$, $0{,}1$. Он сам отмечает, с какого номера точки входят в каждую: с 2-го, с 4-го, с 11-го.

Спросить: «что происходит с $N$, когда полоса сужается?» — растёт. «Может ли $N$ быть одним и тем же для всех полос?» — нет. Вот почему в определении сначала $\varepsilon$, потом $N$: номер зависит от точности, а не наоборот. Это ответ на Кудрявцева № 28, только он ещё не знает, что ответил на задачу из сборника.

Раунд 5 · теперь формула (4 мин)

Только теперь пишем: $$\forall \varepsilon > 0\ \ \exists N\ \ \forall n > N:\ |x_n - a| < \varepsilon$$

и переводим каждый значок на язык игры, который он уже знает:

• $\forall\varepsilon > 0$ — «какую бы точность противник ни назвал»;
• $\exists N$ — «я называю номер»;
• $\forall n > N$ — «и все члены после него»;
• $|x_n - a| < \varepsilon$ — «внутри полосы».

Спросить: «а если поменять первые два местами — $\exists N\ \forall\varepsilon$?» Пусть переведёт сам: «я называю номер, а потом какую бы точность ни назвали — все внутри». Значит, начиная с $N$, все члены равны $a$. Это другое, более сильное условие; ему удовлетворяет $1, 1, 1, \dots$, но не $\frac1n$.

Если он это перевёл — определение село. Если нет — ещё один раунд игры с другой последовательностью ($\frac{n}{n+1} \to 1$) и не двигаться дальше.

Что не делать

• Не давать три определения подряд. Одно определение — двадцать минут игры — потом следующее.
• Не говорить «это же просто». Для него это не просто, и он это знает.
• Не переходить к вычислению пределов, пока игра не выиграна. Вычислять он научится за час; понимать определение — это то, за что платят репетитору.
• Монотонность и ограниченность — не сегодня. Они нужны для Вейерштрасса, а Вейерштрасс — после того, как ясно, что такое предел вообще.

Домашнее (маленькое)

Три игры письменно, каждая — таблица из четырёх строк и одна формула $N(\varepsilon)$:

1. $x_n = \dfrac{1}{n^2} \to 0$: $\varepsilon = 0{,}25;\ 0{,}01;\ 0{,}0001$. ($N = 1/\sqrt\varepsilon$: 2, 10, 100.)
2. $x_n = \dfrac{n}{n+1} \to 1$: те же три $\varepsilon$. ($|x_n - 1| = \frac{1}{n+1}$, $N = 1/\varepsilon - 1$: 3, 99, 9999.)
3. $x_n = (-1)^n \cdot \dfrac1n$: предел? Доказать через игру. (Ноль; $|x_n| = 1/n$, та же машинка, знак не мешает.)

Если что-то из этого не идёт — напишите, разберём: @DaniilFomin