Материал · Матанализ, 1 курс

Матанализ, занятие 2: предел последовательности и число e

Занятие на 90 минут, из них первые 10 — долги с занятия 1.

Конспект лекции (шесть страниц тетради). Лекция покрывает: определение $\varepsilon$–$N$ с картинкой, единственность, пример $\frac{n-1}{n} \to 1$ с $N = \frac1\varepsilon + 1$, теорему Вейерштрасса и $e$ через $\left(1+\frac1n\right)^n$ с оценкой $2 < x_n < 3$, двух милиционеров, предельный переход в неравенстве, критерий Коши в форме $|x_{n+p} - x_n| < \varepsilon\ \forall p$, бесконечно малые и большие, теоремы о частном $\frac{a}{\pm\infty} = 0$ и $\frac{a}{0^+} = +\infty$, арифметику пределов. То есть ровно этот план. Соглашение лектора: в определении $n > N$, строго, и $N$ он пишет как $\frac1\varepsilon + 1$, без целой части — на семинаре так и писать, не спорить.

Источники. Кудрявцев, сборник т. 1, § 8 «Предел последовательности»: справочные сведения с. 125–127, примеры с решениями с. 128–136, задачи № 1–280 с. 136–167, ответы с. 167–170 (страница PDF = книжная − 1). Демидович: отдел I, § 2–3 (№ 41–100). Фихтенгольц т. 1, § 22–35. Тип задач в § 8 исчерпывающий.

---

Долги с занятия 1 — первые 10 минут

Домашнее задание с занятия 1 было: Кудрявцев § 3 № 8, 9; § 7 № 250 (1, 2), 251 (2), 260 (1), 261. Спросить прямо: «делал?». Если нет — не ругать, взять одну задачу и сделать вместе за пять минут, остальное перенести в сегодняшнее домашнее задание.

Что взять, если долгов много, а времени мало — наибольший член, потому что это мост к сегодняшней теме:

$x_n = \dfrac{n}{n^2+1}$. Считаем $f(t) = \dfrac{t}{t^2+1}$, $f'(t) = \dfrac{1-t^2}{(t^2+1)^2}$, растёт до $t=1$, убывает после. $t = 1$ целое: наибольший $x_1 = \tfrac12$. Дальше $x_n \to 0$ — вот и предел, только пока без определения.

Второй, если идёт быстро: $x_n = \dfrac{2n+1}{n+3}$. Разность $x_{n+1} - x_n = \dfrac{5}{(n+4)(n+3)} > 0$ — возрастает всегда. Наибольшего нет, наименьший $x_1 = \tfrac34$. Спросить: «к чему стремится?» — к 2. «Достигает ли двойки?» — нет. Это ровно та интуиция, которую сейчас оформим.

---

Что распаковать себе за час до занятия

Определение. $\lim\limits_{n\to\infty} x_n = a \iff \forall \varepsilon > 0\ \ \exists N\ \ \forall n > N:\ |x_n - a| < \varepsilon$. (У лектора $n > N$; у Кудрявцева $n \ge N$ — разница косметическая, но на семинаре писать как лектор.)

Читать как игру: противник называет $\varepsilon$, ты обязан предъявить $N$. $N$ зависит от $\varepsilon$ — это надо писать явно, $N(\varepsilon)$. Порядок кванторов — суть определения: «для любого $\varepsilon$ найдётся $N$», а не «найдётся $N$ для любого $\varepsilon$». Кудрявцев № 28 — ровно про эту перестановку, и первокурсники на ней сыпятся массово.

Отрицание. $a$ не предел: $\exists \varepsilon > 0\ \ \forall N\ \ \exists n \ge N:\ |x_n - a| \ge \varepsilon$. Словами: есть полоса вокруг $a$, из которой последовательность вылезает сколь угодно далеко по номерам.

Расходится — никакое число не предел. Два способа доказать: (1) не ограничена — а сходящаяся обязана быть ограниченной; (2) две подпоследовательности с разными пределами.

Арифметика. Если $x_n \to a$, $y_n \to b$, то $x_n \pm y_n \to a \pm b$, $x_n y_n \to ab$, $x_n / y_n \to a/b$ при $b \ne 0$. Все три требуют, чтобы пределы существовали и были конечны. «$\infty - \infty$» — не число, а сигнал считать по-другому.

Два милиционера. $x_n \le z_n \le y_n$, $x_n \to a$, $y_n \to a \Rightarrow z_n \to a$. Главный инструмент для синусов, факториалов, корней.

Вейерштрасс. Монотонная ограниченная сходится. Это единственный способ доказать существование предела, не зная его значения. Так вводится $e$.

Число $e$. $\left(1 + \tfrac1n\right)^n$ возрастает, ограничена тройкой, предел обозначают $e \approx 2{,}718$. Всё семейство: $\left(1 + \tfrac{a}{n}\right)^n \to e^a$; $\left(1 + \tfrac{1}{x_n}\right)^{x_n} \to e$ при $x_n \to \infty$ — любая последовательность в показателе, лишь бы та же, что в знаменателе.

Табличные (§ 8, справочные сведения): $\dfrac{1}{n^\alpha} \to 0$ ($\alpha > 0$); $q^n \to 0$ ($|q| < 1$); $\sqrt[n]{a} \to 1$; $\sqrt[n]{n} \to 1$; $\dfrac{n^k}{a^n} \to 0$ ($a > 1$); $\dfrac{a^n}{n!} \to 0$; $\dfrac{n!}{n^n} \to 0$.

Три вещи, которые спросят на коллоквиуме: определение дословно, отрицание дословно, доказать по определению $\tfrac1n \to 0$ с явным $N(\varepsilon)$.

---

Диагностика — 7 минут

1. «Что значит $x_n \to 2$?» Если «приближается к двойке» или «становится всё ближе» — определения не читал; тогда блок 1 целиком, медленно.
2. «$\tfrac1n \to 0$. Назови $N$ для $\varepsilon = 0{,}01$.» Правильно — 100 в записи лектора ($n > N$) или 101 в записи Кудрявцева ($n \ge N$); оба верны, важно, чтобы он понимал, откуда число. Потом: «а для $\varepsilon = \tfrac{1}{1000}$?» — если считает заново, а не видит формулу $N = \lceil 1/\varepsilon \rceil$, — не понял зависимости $N$ от $\varepsilon$.
3. «$(-1)^n$ сходится?» — нет. «Почему?» — если «прыгает», надо доказать: два частичных предела.
4. «$\left(1 + \tfrac1n\right)^n \to$?» — к $e$. «А что такое $e$?» — если «2,71», спросить «а откуда оно берётся?». Обычно не знают, что $e$ — это и есть этот предел по определению.
5. Школа: «$\dfrac{n^2 + n}{3n^2 - 1}$ при большом $n$ примерно сколько?» — если не видит $\tfrac13$, вся техника вычисления упрётся в алгебру.

Типичная картина: 2 умеет с подсказкой, 1 и 3 — словами без определения, 4 — «2,71», 5 — видит. Тогда план как есть.

---

План

Мин	Блок	Кудрявцев
0–10	Долги	§ 7
10–17	Диагностика	—
17–37	Определение, доказать по определению	№ 1, 2, 4
37–48	Не предел, расходится	№ 12, 13, 15, 28
48–70	Вычисление: дроби, корни, $q^n$, милиционеры	№ 26, 94, 98, 99 + Демидович
70–85	Число $e$ и Вейерштрасс	№ 260 (рекуррентные)
85–90	Домашнее	—
резерв	Коши и таблица бесконечностей	№ 149–150

Если на занятие есть только час — режем блок 4 до одного примера с $e$ и убираем долги в домашнее задание.

---

Блок 1. Определение и доказательство по нему (№ 1, 2, 4)

Сначала картинка, потом формула. Ось, точка $a$, полоса $(a - \varepsilon,\ a + \varepsilon)$. Члены последовательности — точки над номерами. Определение говорит: какой бы узкой ни была полоса, начиная с некоторого номера все точки внутри. Снаружи — конечное число. Пусть сам нарисует $x_n = \tfrac1n$ с полосой $\varepsilon = 0{,}3$: снаружи $x_1, x_2, x_3$, внутри всё с $x_4$. Значит $N = 4$.

Теперь то же формулой.

№ 1.1. $x_n = \dfrac1n \to 0$. Дано $\varepsilon > 0$. Хотим $\left|\dfrac1n - 0\right| < \varepsilon \iff n > \dfrac1\varepsilon$. Берём $N = \left\lfloor \dfrac1\varepsilon \right\rfloor + 1$. Тогда для всех $n > N$ тем более $n > \dfrac1\varepsilon$, значит $\dfrac1n < \varepsilon$. Готово. (В записи лектора достаточно $N = \dfrac1\varepsilon$ без целой части: для всех $n > N$ неравенство уже верно, натуральность $N$ его не волнует. Оба варианта принимаются.)

Что проверить: он написал $N$ натуральным? Написал $\lfloor\ \rfloor + 1$ или просто «$n > 1/\varepsilon$»? Второе — не доказательство, а заготовка. Проверка на числе: $\varepsilon = 0{,}1 \Rightarrow N = 11$.

Сначала — пример из его лекции, сам, без подсказок. $x_n = \dfrac{n-1}{n} \to 1$. Он его переписывал с доски, значит должен воспроизвести: $\left|\dfrac{n-1}{n} - 1\right| = \dfrac1n < \varepsilon \iff n > \dfrac1\varepsilon$, $N = \dfrac1\varepsilon + 1$. Если воспроизводит гладко — определение сидит, дальше быстрее. Если путается в том, откуда взялось $\frac1n$, — вернуться к картинке.

№ 2 (тип). $x_n = \dfrac{2n+1}{n+1} \to 2$. $\left|\dfrac{2n+1}{n+1} - 2\right| = \left|\dfrac{2n + 1 - 2n - 2}{n+1}\right| = \dfrac{1}{n+1} < \varepsilon \iff n > \dfrac1\varepsilon - 1$. $N = \left\lceil \dfrac1\varepsilon \right\rceil$.

Здесь важное: сначала вычесть предел и упростить, потом решать неравенство. Студенты пытаются решать $\left|\frac{2n+1}{n+1} - 2\right| < \varepsilon$ в лоб с двумя случаями модуля. Не надо: под модулем после упрощения знак ясен.

№ 2.2. $x_n = \dfrac{n}{2n+1} \to \dfrac12$. $\left|\dfrac{n}{2n+1} - \dfrac12\right| = \dfrac{1}{2(2n+1)}$. Можно решить точно: $n > \dfrac{1}{4\varepsilon} - \dfrac12$. А можно оценить сверху: $\dfrac{1}{2(2n+1)} < \dfrac{1}{4n} < \varepsilon \iff n > \dfrac{1}{4\varepsilon}$.

Вот это надо проговорить отдельно: $N$ не обязан быть наименьшим. Любое $N$, начиная с которого неравенство верно, годится. Поэтому дробь можно грубо увеличить, лишь бы стало проще. Это главный технический приём всего курса, и его почти никто не объясняет.

№ 1.6. $x_n = \dfrac1n \sin\dfrac{\pi n}{2} \to 0$. Синус мешает? Нет: $|x_n| = \dfrac{|\sin(\pi n/2)|}{n} \le \dfrac1n < \varepsilon$ при $n > \dfrac1\varepsilon$. Ограниченный множитель на бесконечно малую — бесконечно малая. Это же § 8, свойство 1.

№ 4.1. $x_n = \dfrac{1}{\sqrt n} \to 0$. $\dfrac{1}{\sqrt n} < \varepsilon \iff \sqrt n > \dfrac1\varepsilon \iff n > \dfrac{1}{\varepsilon^2}$. Спросить: «для $\varepsilon = 0{,}1$ какое $N$?» — 101. «А для $\tfrac1n$ было?» — 11. Корень сходится медленнее — пусть увидит это на числах.

---

Блок 2. Не предел и расходимость (№ 12, 13, 15, 28)

№ 12.1. $x_n = (-1)^n$, $a = -1$ — не предел. По отрицанию: нужно $\varepsilon$ и бесконечно много $n$ снаружи. Берём $\varepsilon = 1$: при чётных $n$ имеем $|1 - (-1)| = 2 \ge 1$. Чётных $n$ бесконечно много — для любого $N$ найдётся чётное $n \ge N$. Всё.

Что проверить: он взял конкретное $\varepsilon$? Отрицание начинается с $\exists\varepsilon$, значит, надо его назвать. Студенты пишут «для любого $\varepsilon$» по инерции.

№ 13.1. $(-1)^n$ расходится. Подпоследовательность чётных → 1, нечётных → −1. Если бы был предел $a$, обе стремились бы к $a$ (№ 18–19). Противоречие.

№ 13.3. $\sin\dfrac{\pi n}{2}$ расходится. Значения $1, 0, -1, 0, 1, 0, \dots$ — три частичных предела. Достаточно двух: $x_{4k} = 0$, $x_{4k+1} = 1$.

№ 15.1. $(-1)^n n$ расходится. Не ограничена: $|x_n| = n$. А сходящаяся ограничена. Одна строчка. Спросить: «а стремится ли она к бесконечности?» — нет: $x_n \to \infty$ требует $|x_n| \to \infty$, что верно, но $x_n \to +\infty$ — нет, знаки чередуются. Терминология Кудрявцева: $\to \infty$ (без знака) — да; $\to +\infty$ — нет.

№ 28 — устно, две минуты, это самое важное в блоке. (1) «Существует $N$ такое, что для любого $\varepsilon > 0$ и любого $n \ge N$: $|x_n - a| < \varepsilon$» — что это значит? Начиная с $N$ все члены равны $a$ (число, меньшее любого положительного, — ноль). Это сильнее сходимости. (2) «Для любого $\varepsilon$ существуют $N$ и $n \ge N$ с $|x_n - a| < \varepsilon$» — один член попал в полосу, а не все начиная с некоторого. Это слабее: $(-1)^n$ удовлетворяет с $a = 1$, но не сходится. Пусть сформулирует разницу словами. Если сформулировал — определение понято.

---

Блок 3. Вычисление пределов

Арифметика теорем разрешает раскладывать на куски, если у кусков есть конечные пределы. Если получается $\tfrac{\infty}{\infty}$, $\infty - \infty$, $0 \cdot \infty$ — это не ответ, а команда преобразовать.

Дроби — делить на старшую степень. $\dfrac{3n^2 + n}{2n^2 - 5} = \dfrac{3 + 1/n}{2 - 5/n^2} \to \dfrac32$. $\dfrac{n + 1}{n^2 + 1} \to 0$ (старшая степень внизу). $\dfrac{n^3 - n + 3}{n^2 + 1} \to +\infty$ (№ 94.1; старшая наверху). Правило № 96: степень числителя $p$, знаменателя $q$: $p < q \Rightarrow 0$; $p = q \Rightarrow$ отношение старших коэффициентов; $p > q \Rightarrow \infty$ со знаком.

Разность корней — домножить на сопряжённое. $\sqrt{n^2 + n} - n = \dfrac{n}{\sqrt{n^2 + n} + n} = \dfrac{1}{\sqrt{1 + 1/n} + 1} \to \dfrac12$. Ловушка: студент говорит «$\infty - \infty = 0$». Показать на числах: $n = 100$: $\sqrt{10100} - 100 \approx 0{,}499$. Не ноль. № 99: $\sqrt{n^2 + na} - n \to \dfrac a2$ при любом $a$ — тот же приём с буквой.

Показательные — делить на самое быстрое. $\dfrac{2^n + 3^n}{3^n + 1} = \dfrac{(2/3)^n + 1}{1 + 1/3^n} \to 1$. Табличное: $q^n \to 0$ при $|q| < 1$.

Милиционеры. $\dfrac{\sin n}{n}$: $-\dfrac1n \le \dfrac{\sin n}{n} \le \dfrac1n$, обе → 0. $\dfrac{n!}{n^n} = \dfrac1n \cdot \dfrac2n \cdots \dfrac nn \le \dfrac1n \cdot 1 \cdots 1 = \dfrac1n \to 0$. Оценка сверху одним множителем — красиво и строго.

№ 26.1. $x_n = \left(8 - \dfrac{1}{n^3}\right)^{-1/3} \to 8^{-1/3} = \dfrac12$. Здесь молча используется, что предел степени равен степени предела (№ 25) — пока принимаем, в непрерывности докажем.

Порядок подачи: по одному примеру каждого типа ты, потом по одному он. На «он» — молчи, даже когда очевидно, что идёт не туда: пусть дойдёт до $\infty - \infty$ и упрётся.

---

Блок 4. Число $e$ и Вейерштрасс

Откуда $e$. $x_n = \left(1 + \tfrac1n\right)^n$: $x_1 = 2$, $x_2 = 2{,}25$, $x_3 \approx 2{,}37$, $x_{10} \approx 2{,}59$, $x_{100} \approx 2{,}705$. Растёт и, похоже, упирается. Теорема Вейерштрасса: возрастает и ограничена (доказательство через бином — в Кудрявцеве пример с. 135–136, на занятии не надо) — значит, сходится. Предел обозначили буквой $e$. Это определение, а не вычисление. $e \approx 2{,}71828$ — следствие, а не источник.

Семейство. Всё сводится к виду $\left(1 + \tfrac{1}{\square}\right)^{\square}$ с одинаковым $\square \to \infty$:

$\left(1 + \dfrac2n\right)^n = \left[\left(1 + \dfrac{1}{n/2}\right)^{n/2}\right]^2 \to e^2$.

$\left(1 + \dfrac1n\right)^{2n+1} = \left[\left(1 + \dfrac1n\right)^n\right]^2 \cdot \left(1 + \dfrac1n\right) \to e^2 \cdot 1 = e^2$.

$\left(1 - \dfrac1n\right)^n = \left(\dfrac{n-1}{n}\right)^n = \dfrac{1}{\left(\frac{n}{n-1}\right)^n} = \dfrac{1}{\left(1 + \frac{1}{n-1}\right)^{n-1} \cdot \left(1 + \frac{1}{n-1}\right)} \to \dfrac{1}{e \cdot 1} = \dfrac1e$. Ловушка знака: половина пишет $e^{-1}$ «по аналогии» — и это верно, но пусть покажет почему, а не угадает.

$\left(\dfrac{n+1}{n-1}\right)^n = \left(1 + \dfrac{2}{n-1}\right)^n = \left(1 + \dfrac{2}{n-1}\right)^{n-1} \cdot \left(1 + \dfrac{2}{n-1}\right) \to e^2$.

Общее правило вслух: $\left(1 + \alpha_n\right)^{\beta_n} \to e^{\lim \alpha_n \beta_n}$, если $\alpha_n \to 0$, $\beta_n \to \infty$. Проверка: $\alpha_n = 2/n$, $\beta_n = n$, произведение 2 — $e^2$. Это шпаргалка, а не доказательство; на коллоквиуме требовать будут выкладку.

Вейерштрасс на рекуррентной (№ 260-тип). $x_1 = \sqrt2$, $x_{n+1} = \sqrt{2 + x_n}$. Считаем: $1{,}414;\ 1{,}848;\ 1{,}962;\ 1{,}990$. Догадка: → 2. Доказать существование: (а) ограничена сверху двойкой — индукция: $x_n < 2 \Rightarrow x_{n+1} = \sqrt{2 + x_n} < \sqrt4 = 2$; (б) возрастает: $x_{n+1} > x_n \iff 2 + x_n > x_n^2 \iff (x_n - 2)(x_n + 1) < 0$, верно при $0 < x_n < 2$. Значит, сходится к некоторому $L$. Найти: переходим к пределу в $x_{n+1} = \sqrt{2 + x_n}$: $L = \sqrt{2 + L} \Rightarrow L^2 - L - 2 = 0 \Rightarrow L = 2$ (корень $-1$ отброшен: $x_n > 0$).

Что проверить: он понимает, почему нельзя сразу писать $L = \sqrt{2+L}$, не доказав сходимость? Контрпример: $x_{n+1} = 2x_n$, $x_1 = 1$. Если бы предел был, то $L = 2L \Rightarrow L = 0$. Но $x_n = 2^n \to \infty$. Уравнение на предел имеет смысл только после доказательства, что предел есть.

---

Блок 5 (если есть время или спросит) · критерий Коши и арифметика бесконечностей

Оба пункта есть в конспекте лекции, значит, на семинаре будут спрашивать.

Критерий Коши. ${x_n}$ сходится $\iff \forall\varepsilon > 0\ \exists N\ \forall n > N\ \forall p \in \mathbb{N}:\ |x_{n+p} - x_n| < \varepsilon$. Смысл: члены сближаются друг с другом, а не с каким-то наперёд известным $a$. Зачем нужен: доказывать сходимость или расходимость, не зная предела.

Классический пример, который дают на первом же семинаре: $x_n = 1 + \dfrac12 + \dfrac13 + \dots + \dfrac1n$ расходится. По Коши: возьмём $p = n$: $x_{2n} - x_n = \dfrac{1}{n+1} + \dots + \dfrac{1}{2n} \ge n \cdot \dfrac{1}{2n} = \dfrac12$. Значит, при $\varepsilon = \frac12$ никакое $N$ не годится — условие Коши нарушено. Хотя $x_{n+1} - x_n = \frac{1}{n+1} \to 0$! Вот это и есть урок: соседние члены сближаются, а последовательность всё равно уходит в бесконечность. Расстояние до соседа — не то же, что расстояние до всех последующих.

Если спросит «а зачем $p$, если можно $m > n$» — это одно и то же, $m = n + p$; форма с $p$ у лектора, форма с $n, m$ у Кудрявцева.

Арифметика с бесконечностями — из его конспекта две теоремы, вот полная таблица, что можно и что нельзя:

Можно (это теоремы)	Нельзя (неопределённости — преобразовывать)
$a + \infty = \infty$, $\infty + \infty = \infty$	$\infty - \infty$
$a \cdot \infty = \infty$ при $a \ne 0$ (знак по правилу знаков)	$0 \cdot \infty$
$\dfrac{a}{\pm\infty} = 0$	$\dfrac{\infty}{\infty}$
$\dfrac{a}{0^{+}} = +\infty$ при $a > 0$ (в конспекте: $y_n \to 0$, $y_n > 0$)	$\dfrac{0}{0}$
$\dfrac{\infty}{a} = \infty$	$1^{\infty}$ — сюда попадает $e$!
$q^{\infty} = 0$ при $|q| < 1$

Обратить внимание на $1^\infty$: $\left(1 + \frac1n\right)^n$ — основание $\to 1$, показатель $\to \infty$, и результат не 1, а $e$. Если студент говорит «единица в любой степени — единица» — это самая частая ошибка курса, и ответ на неё — блок 4.

---

Домашнее задание

Кудрявцев § 8 (с. 136–139, 149): № 1 (2, 5), № 2 (1, 3, 4), № 4 (1), № 12 (3), № 13 (3), № 26 (1–3), № 99. Демидович № 41–45 (по определению, с явным $N$), № 60–70 (вычислить).

И три своих:

1. Доказать по определению: $\dfrac{(-1)^n}{n} \to 0$. С явным $N(\varepsilon)$ и проверкой на $\varepsilon = 0{,}05$.
2. $\left(1 + \dfrac1n\right)^{n+5} \to$? Ответ с выкладкой, не «по формуле».
3. $x_1 = 1$, $x_{n+1} = \sqrt{6 + x_n}$. Доказать, что сходится, найти предел. (Ограничена тройкой, возрастает, $L = 3$.)
4. По критерию Коши доказать, что $x_n = 1 + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2} + \dots + \dfrac{1}{n^2}$ сходится. (Подсказка: $\dfrac{1}{k^2} < \dfrac{1}{k(k-1)} = \dfrac{1}{k-1} - \dfrac{1}{k}$, сумма телескопируется, $x_{n+p} - x_n < \dfrac1n$.)

---

Карта дальше

Следующее по программе — предел функции (§ 9): те же идеи, но вместо $N$ — $\delta$, и появляются односторонние пределы и замечательные пределы $\dfrac{\sin x}{x} \to 1$, $\dfrac{e^x - 1}{x} \to 1$. Потом непрерывность (§ 10) и производная (§ 13). Всё, что сегодня сделано с $e$ и с оценками сверху, там понадобится дословно.

Если что-то из этого не идёт — напишите, разберём: @DaniilFomin