Шпора: математический анализ, 1 семестр

Кванторы и связки

Отрицание кванторов: $\neg(\forall x\ P)\iff\exists x\ \neg P$; $\quad\neg(\exists x\ P)\iff\forall x\ \neg P$. Меняешь квантор, отрицание идёт внутрь.

Числовые множества

$\mathbb N=\{1,2,3,\dots\}$ (ноль не входит) $\subset\mathbb Z\subset\mathbb Q\subset\mathbb R\subset\mathbb C$.

$\mathbb Q=\{p/q\mid p\in\mathbb Z,\ q\in\mathbb N\}$; иррациональные — $\mathbb R\setminus\mathbb Q$ ($\sqrt2,\ \pi,\ e$).

Промежутки: $[a,b]$, $(a,b)$, $[a,b)$, $(a,+\infty)$. $\mathbb R=(-\infty,+\infty)$.

Окрестность: $U_\varepsilon(a)=(a-\varepsilon,a+\varepsilon)=\{x:|x-a|<\varepsilon\}$; проколотая $\dot U_\varepsilon(a)=U_\varepsilon(a)\setminus\{a\}$.

Множества

Де Морган: $\overline{A\cup B}=\overline A\cap\overline B$, $\overline{A\cap B}=\overline A\cup\overline B$.

$A=B\iff A\subset B\ \wedge\ B\subset A$ — так доказывают равенство множеств.

Модуль

$|x|=\begin{cases}x,&x\ge0\\-x,&x<0\end{cases}\qquad |x|=\sqrt{x^2}$

$|x|<a\iff -a<x<a$; $\quad|x|>a\iff x<-a\ \vee\ x>a$.

$|ab|=|a||b|$, $\ |a+b|\le|a|+|b|$ (треугольник), $\ \big||a|-|b|\big|\le|a-b|$.

$|x-a|$ — расстояние от $x$ до $a$. Это язык всех $\varepsilon$-определений.

Степени и корни

$a^m a^n=a^{m+n}$, $\ \dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$, $\ (a^m)^n=a^{mn}$, $\ (ab)^n=a^nb^n$, $\ a^{-n}=\dfrac1{a^n}$, $\ a^0=1$.

$a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}$; $\ \sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b$ (при $a,b\ge0$); $\ \sqrt{a^2}=|a|$, а не $a$.

Логарифмы ($a>0,\ a\ne1,\ x,y>0$)

$\log_a x=y\iff a^y=x$; $\ a^{\log_a x}=x$; $\ \log_a1=0,\ \log_aa=1$.

$\log_a(xy)=\log_ax+\log_ay$; $\ \log_a\frac xy=\log_ax-\log_ay$; $\ \log_ax^p=p\log_ax$.

Переход: $\log_ax=\dfrac{\log_bx}{\log_ba}=\dfrac{\ln x}{\ln a}$; $\ \log_{a^k}x=\frac1k\log_ax$; $\ a^x=e^{x\ln a}$.

Сокращённое умножение

$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$; $\ a^2-b^2=(a-b)(a+b)$;

$(a\pm b)^3=a^3\pm3a^2b+3ab^2\pm b^3$; $\ a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$;

$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\dots+b^{n-1})$.

Бином: $(a+b)^n=\sum_{k=0}^n C_n^k a^{n-k}b^k$, $\ C_n^k=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$.

Квадратный трёхчлен

$ax^2+bx+c=0$: $\ D=b^2-4ac$, $\ x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}$. $D<0$ — корней в $\mathbb R$ нет.

Виет: $x_1+x_2=-\frac ba$, $\ x_1x_2=\frac ca$. Разложение: $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$.

Вершина параболы: $x_0=-\frac b{2a}$. Выделение квадрата: $x^2+px+q=(x+\frac p2)^2+q-\frac{p^2}4$.

Метод интервалов

$\dfrac{(x-a)(x-b)}{(x-c)}\gtrless0$: корни и точки разрыва на прямую, знак справа «+» (если все коэффициенты при $x$ положительны), при переходе через корень нечётной кратности знак меняется, чётной — нет. Точки, где знаменатель $=0$, всегда выколоты.

Прогрессии, суммы, факториал

Арифм.: $a_n=a_1+(n-1)d$, $\ S_n=\dfrac{a_1+a_n}2n$. Геом.: $b_n=b_1q^{n-1}$, $\ S_n=b_1\dfrac{q^n-1}{q-1}$, $\ S_\infty=\dfrac{b_1}{1-q}$ при $|q|<1$.

$1+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}2$; $\ 1^2+\dots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6$; $\ 1^3+\dots+n^3=\big(\frac{n(n+1)}2\big)^2$.

$n!=1\cdot2\cdots n$, $\ 0!=1$, $\ (n+1)!=(n+1)\,n!$.

Неравенства

О средних ($a_i\ge0$): $\ \dfrac{a_1+\dots+a_n}n\ge\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}$, равенство при всех равных. Частный: $a+b\ge2\sqrt{ab}$, $\ x+\frac1x\ge2$ при $x>0$.

Бернулли: $(1+x)^n\ge1+nx$ при $x\ge-1$, $n\in\mathbb N$.

Коши–Буняковский: $(\sum a_ib_i)^2\le\sum a_i^2\sum b_i^2$.

Индукция

Чтобы доказать $P(n)\ \forall n\ge n_0$: (1) база — $P(n_0)$ верно; (2) шаг — из $P(k)$ следует $P(k+1)$. Всё. Типичные ошибки: забыть базу; в шаге доказывать $P(k+1)$, не используя $P(k)$.

Определения (единичная окружность)

Точка на окружности, повёрнутая на угол $t$: $(\cos t,\ \sin t)$. $\ \operatorname{tg}t=\dfrac{\sin t}{\cos t}$ ($\cos t\ne0$), $\ \operatorname{ctg}t=\dfrac{\cos t}{\sin t}$.

Периоды: $\sin,\cos$ — $2\pi$; $\operatorname{tg},\operatorname{ctg}$ — $\pi$. Чётность: $\cos$ чётный, остальные нечётные.

Радианы: $\pi=180^\circ$, $\ 1\text{ рад}\approx57{,}3^\circ$, $\ x^\circ=\frac{\pi x}{180}$.

Знаки по четвертям

Основные тождества

$\sin^2t+\cos^2t=1$; $\ 1+\operatorname{tg}^2t=\dfrac1{\cos^2t}$; $\ 1+\operatorname{ctg}^2t=\dfrac1{\sin^2t}$; $\ \operatorname{tg}t\cdot\operatorname{ctg}t=1$.

Сложение

$\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$

$\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$

$\operatorname{tg}(\alpha\pm\beta)=\dfrac{\operatorname{tg}\alpha\pm\operatorname{tg}\beta}{1\mp\operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}$

Двойной угол, понижение степени

$\sin2t=2\sin t\cos t$; $\ \cos2t=\cos^2t-\sin^2t=2\cos^2t-1=1-2\sin^2t$; $\ \operatorname{tg}2t=\dfrac{2\operatorname{tg}t}{1-\operatorname{tg}^2t}$.

$\sin^2t=\dfrac{1-\cos2t}2$, $\ \cos^2t=\dfrac{1+\cos2t}2$.

Половинный: $\operatorname{tg}\frac t2=\dfrac{\sin t}{1+\cos t}=\dfrac{1-\cos t}{\sin t}$.

Сумма ↔ произведение

$\sin\alpha\pm\sin\beta=2\sin\frac{\alpha\pm\beta}2\cos\frac{\alpha\mp\beta}2$

$\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}2\cos\frac{\alpha-\beta}2$, $\ \cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}2\sin\frac{\alpha-\beta}2$

$\sin\alpha\cos\beta=\frac12[\sin(\alpha-\beta)+\sin(\alpha+\beta)]$; $\ \cos\alpha\cos\beta=\frac12[\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)]$; $\ \sin\alpha\sin\beta=\frac12[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)]$

Формулы приведения

Правило: для $\pi\pm t,\ 2\pi\pm t$ функция не меняется; для $\frac\pi2\pm t,\ \frac{3\pi}2\pm t$ — меняется на кофункцию ($\sin\leftrightarrow\cos$, $\operatorname{tg}\leftrightarrow\operatorname{ctg}$). Знак — тот, который имеет исходная функция в этой четверти (считая $t$ острым).

Частые: $\sin(\frac\pi2-t)=\cos t$, $\ \cos(\frac\pi2-t)=\sin t$, $\ \sin(\pi-t)=\sin t$, $\ \cos(\pi-t)=-\cos t$, $\ \sin(t+\pi)=-\sin t$, $\ \cos(t+\pi)=-\cos t$.

Обратные функции

$\arcsin(-x)=-\arcsin x$, $\ \arccos(-x)=\pi-\arccos x$, $\ \arcsin x+\arccos x=\frac\pi2$, $\ \operatorname{arctg}x+\operatorname{arcctg}x=\frac\pi2$.

Замечательные пределы

$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1$

$\lim\limits_{x\to0}(1+x)^{1/x}=e$, $\quad\lim\limits_{x\to\infty}\Big(1+\dfrac1x\Big)^x=e$

Следствия: $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\ln(1+x)}x=1$, $\ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^x-1}x=1$, $\ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{a^x-1}x=\ln a$, $\ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{(1+x)^\alpha-1}x=\alpha$.

Степенно-показательные: $f^g=e^{g\ln f}$; при $f\to1,\ g\to\infty$: $\ \lim f^g=e^{\lim g(f-1)}$.

Эквивалентности при $x\to0$

Вместо $x$ можно подставлять любую б.м. $\alpha(x)$: $\sin 3x^2\sim3x^2$.

Таблица производных

Правила

$(u\pm v)'=u'\pm v'$; $\ (Cu)'=Cu'$

$(uv)'=u'v+uv'$; $\ (uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'$

$\Big(\dfrac uv\Big)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$

Сложная: $\big(f(g(x))\big)'=f'(g(x))\cdot g'(x)$ — «внешняя по внутренней, умножить на внутреннюю».

Обратная: $(f^{-1})'(y)=\dfrac1{f'(x)}$, $\ x_y'=\dfrac1{y_x'}$.

Параметрическая $x=x(t),\ y=y(t)$: $\ y_x'=\dfrac{y_t'}{x_t'}$, $\ y_{xx}''=\dfrac{(y_x')_t'}{x_t'}$.

Логарифмическая (для $u^v$, длинных произведений): $\ (\ln y)'=\dfrac{y'}y\Rightarrow y'=y\,(\ln y)'$. Пример: $(x^x)'=x^x(\ln x+1)$.