Даниил Фомин · математика онлайн Написать в Telegram

Материал · математический анализ, 1 курс

Матанализ, занятие 1: множества, sup и inf, последовательности

Даниил Фомин · конспект первого занятия: множества, точные грани, последовательности, наибольший и наименьший член · 2026
ФорматПервый курс, семинар 1. Занятие 60 минут.
КнигиКудрявцев-задачник т. 1: § 3 № 8–9 (с. 21); § 7 № 250–251, 260–261 (с. 106–107). Демидович: отд. I § 1–2. Фихтенгольц т. 1: § 1–11, § 22–35.
ОпределенияДиагностикаПланМножестваsup / infПоследовательностиmax / min членДомашнееКарта семестра

0Три определения перед занятием

Три определения — дословно. Спрашивать будут именно их.

Точная верхняя грань.
M=sup⁡XM=\sup X, если (1) ∀x∈X: x≤M\forall x\in X:\ x\le M и (2) ∀ε>0 ∃x′∈X: x′>M−ε\forall\varepsilon>0\ \exists x'\in X:\ x'>M-\varepsilon. Второе условие — «MM нельзя уменьшить». Если XX не ограничено сверху, пишут sup⁡X=+∞\sup X=+\infty.
Теорема. Всякое непустое ограниченное сверху множество имеет sup⁡\sup. Это и есть полнота R\mathbb R; в Q\mathbb Q теорема ложна: {x∈Q∣x2<2}\{x\in\mathbb Q\mid x^2<2\}.
max против sup.
max⁡X\max X — элемент множества; sup⁡X\sup X — число, которое в XX лежать не обязано. Есть max⁡\max ⇒\Rightarrow sup⁡=max⁡\sup=\max. Обратно неверно: X=(−∞,0)X=(-\infty,0): sup⁡X=0\sup X=0, а max⁡\max нет. У конечного множества max⁡\max и sup⁡\sup всегда есть и совпадают.
Ограниченность последовательности.
{xn}\{x_n\} ограничена   ⟺   ∃C: ∣xn∣≤C  ∀n\iff\ \exists C:\ |x_n|\le C\ \ \forall n. Ограничена сверху   ⟺   ∃M: xn≤M\iff\ \exists M:\ x_n\le M. Наибольший член у ограниченной сверху последовательности есть не всегда: xn=1−1nx_n=1-\frac1n ограничена единицей, sup⁡=1\sup=1, наибольшего члена нет.
соглашениеN={1,2,3,… }\mathbb N=\{1,2,3,\dots\}, ноль не натуральное. На семинаре так же — иначе на слайде 8 ответ другой.

1Диагностика — первые 7 минут

Не рассказывай — спрашивай. По ответам видно, где пробел: школа или первые лекции.

  1. «Что такое N,Z,Q,R\mathbb N,\mathbb Z,\mathbb Q,\mathbb R? Ноль натуральное?» — школа.
  2. «X=(0,1)X=(0,1). Есть максимум? А супремум?» — путает max и sup → всё занятие про определения.
  3. «Реши x2−3x−4≤0x^2-3x-4\le0» — тонет → проблема в школьных неравенствах, не в анализе. 10 минут на метод интервалов.
  4. «Что значит: последовательность ограничена?» — «не уходит в бесконечность» → определений не читал.
  5. «Запиши все решения sin⁡x=32\sin x=\frac{\sqrt3}{2}» — проверка перед слайдом 12.

Типичный первокурсник в сентябре: 1 и 3 знает, 2 и 4 нет, 5 помнит смутно. Тогда план ниже — как есть.

2План на 60 минут

0–7диагностика
7–20множества
сл. 8, 10, 9
20–32sup / inf
сл. 11
32–45последовательности
сл. 12, 13
45–58max / min член
сл. 7, 14
2д/з

Правило занятия: ученик пишет, преподаватель спрашивает. Объяснение дольше трёх минут подряд — повод остановиться и дать задачу.

3Множества

слайд 8Задать перечислением

A={x∈N∣x2−3x−4≤0}A=\{x\in\mathbb N\mid x^2-3x-4\le0\}
(x−4)(x+1)≤0 ⇒ −1≤x≤4 ⇒(x-4)(x+1)\le0\ \Rightarrow\ -1\le x\le4\ \Rightarrow A={1,2,3,4}A=\{1,2,3,4\}
ловушкаНоль. Если напишет {0,1,2,3,4}\{0,1,2,3,4\} — не «неправильно», а «у вас на лекции N\mathbb N с нуля?». Пусть проверит по конспекту.
A={x∈Z∣14≤2x<5}A=\{x\in\mathbb Z\mid \tfrac14\le 2^x<5\}
2x2^x монотонна: 2−2≤2x<2log⁡25 ⇒ −2≤x<log⁡25≈2,322^{-2}\le2^x<2^{\log_2 5}\ \Rightarrow\ -2\le x<\log_2 5\approx2{,}32. Целые: A={−2,−1,0,1,2}A=\{-2,-1,0,1,2\}
спросить«Почему от неравенства для 2x2^x можно перейти к неравенству для xx?» — слово «монотонность» должно прозвучать.

слайд 10A∩BA\cap B, B∖AB\setminus A

A={x∈R∣x2+x−20=0}A=\{x\in\mathbb R\mid x^2+x-20=0\}, B={x∈R∣x2−x+12=0}B=\{x\in\mathbb R\mid x^2-x+12=0\}
A={−5, 4}A=\{-5,\,4\}. Для BB: D=1−48<0 ⇒ B=∅D=1-48<0\ \Rightarrow\ B=\varnothing. Значит A∩B=∅,  B∖A=∅A\cap B=\varnothing,\ \ B\setminus A=\varnothing
зачемЗадача-подлянка: чтобы не решали на автомате. Если начнёт считать корни BB и получит −47\sqrt{-47} — момент про R\mathbb R против C\mathbb C: в C\mathbb C корни были бы, но условие говорит x∈Rx\in\mathbb R.

слайд 9Изобразить на плоскости

{(x,y)∣y>2x+1, 2x+1≥0}\{(x,y)\mid y>\sqrt{2x+1},\ 2x+1\ge0\}

Граница y=2x+1y=\sqrt{2x+1} — верхняя ветвь параболы y2=2x+1y^2=2x+1: вершина (−12,0)(-\tfrac12,0), ветви вправо. Условие 2x+1≥02x+1\ge0 — просто ОДЗ корня. Ответ: над верхней ветвью, x≥−12x\ge-\tfrac12. Граница не входит — пунктир.

{(x,y)∣y2>2x+1}\{(x,y)\mid y^2>2x+1\}

Та же парабола целиком, x=y2−12x=\frac{y^2-1}{2}. y2>2x+1  ⟺  x<y2−12y^2>2x+1\iff x<\frac{y^2-1}{2} — всё левее параболы, «снаружи». Проверка точкой (−2,0)(-2,0): 0>−30>-3 верно. Пунктир.

−½ xy y > √(2x+1) (−2,0) xy y² > 2x+1
Слева — первое множество, справа — второе. Границы пунктиром: неравенства строгие.
десерт«Первое множество — подмножество второго?» Да: y>2x+1≥0⇒y2>2x+1y>\sqrt{2x+1}\ge0\Rightarrow y^2>2x+1. Второе больше: в нём ещё зеркальная область под нижней ветвью и всё левее x=−12x=-\tfrac12. Пусть покажет на своём рисунке.

4sup, inf, max, min

слайд 11Найти max⁡,min⁡,sup⁡,inf⁡\max,\min,\sup,\inf, если существуют

X={x∈Z∣−5≤x<0}X=\{x\in\mathbb Z\mid -5\le x<0\}
X={−5,−4,−3,−2,−1}X=\{-5,-4,-3,-2,-1\} — конечное. min⁡=inf⁡=−5,max⁡=sup⁡=−1\min=\inf=-5,\quad \max=\sup=-1
ловушкаСтрогое x<0x<0 не означает «max нет»: множество целых, −1-1 в нём есть.
X={x∈R∣x<0}X=\{x\in\mathbb R\mid x<0\}
Не ограничено снизу: min⁡\min нет, inf⁡X=−∞\inf X=-\infty. Сверху: max⁡\max нет, sup⁡X=0\sup X=0
На доске — доказать sup = 0 по определению
(1)  ∀x∈X: x<0≤0;(2)  ∀ε>0:  −ε2∈X  и  −ε2>0−ε. (1)\ \ \forall x\in X:\ x<0\le 0; \qquad (2)\ \ \forall\varepsilon>0:\ \ -\tfrac{\varepsilon}{2}\in X\ \text{ и }\ -\tfrac{\varepsilon}{2}>0-\varepsilon.
спроситьЕсли сделает только пункт (1): «А почему не sup⁡=5\sup=5? Пятёрка тоже больше всех элементов». Это ключевой момент занятия: sup — наименьшая из верхних границ.
если идёт хорошоКудрявцев № 9: X={1−1n}X=\{1-\frac1n\}: inf⁡=min⁡=0\inf=\min=0, sup⁡=1\sup=1, max нет. X={(−1)nn}X=\{\frac{(-1)^n}{n}\}: min⁡=−1\min=-1, max⁡=12\max=\frac12.

5Последовательности

слайд 12Первые пять членов

xn=3n+52n−3x_n=\dfrac{3n+5}{2n-3}
−8, 11, 143, 175, 207-8,\ 11,\ \tfrac{14}{3},\ \tfrac{17}{5},\ \tfrac{20}{7}
ловушкаx1=8−1=−8x_1=\frac{8}{-1}=-8. Знак теряют постоянно.
спросить«А что при n→∞n\to\infty?» — →32\to\frac32. Первые члены скачут, потом всё успокаивается: образ для будущего предела.
xn=(−1)narcsin⁡32+πnx_n=(-1)^n\arcsin\dfrac{\sqrt3}{2}+\pi n
arcsin⁡32=π3\arcsin\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\pi}{3}, значит xn=(−1)nπ3+πnx_n=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n: 2π3, 7π3, 8π3, 13π3, 14π3\tfrac{2\pi}{3},\ \tfrac{7\pi}{3},\ \tfrac{8\pi}{3},\ \tfrac{13\pi}{3},\ \tfrac{14\pi}{3}
зачемЭто не случайный набор. x=(−1)narcsin⁡a+πnx=(-1)^n\arcsin a+\pi n — общее решение sin⁡x=a\sin x=a. То есть xnx_n — все корни sin⁡x=32\sin x=\frac{\sqrt3}{2} при n≥1n\ge1, по порядку. Пусть проверит: sin⁡2π3=sin⁡7π3=32\sin\frac{2\pi}{3}=\sin\frac{7\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}. Преподаватель на семинаре одним примером повторяет тригонометрию и показывает, что формула члена может прийти из чего угодно.

слайд 13Формула общего члена

2, 43, 65, 87, …2,\ \tfrac43,\ \tfrac65,\ \tfrac87,\ \dots
Числитель 2n2n, знаменатель 2n−12n-1 (и 2=212=\frac21): xn=2n2n−1x_n=\dfrac{2n}{2n-1}
1, 0, −3, 0, 5, 0, −7, 0, …1,\ 0,\ -3,\ 0,\ 5,\ 0,\ -7,\ 0,\ \dots
Чётные — нули, нечётные — ±n\pm n с чередованием знака. Нужна функция, дающая 1,0,−1,0,1,…1,0,-1,0,1,\dots — это sin⁡πn2\sin\frac{\pi n}{2}: xn=nsin⁡πn2x_n=n\sin\dfrac{\pi n}{2}
Проверка
n=1: sin⁡π2=1;n=3: 3sin⁡3π2=−3;n=5: 5⋅1;n=7: 7⋅(−1). n=1:\ \sin\tfrac{\pi}{2}=1;\quad n=3:\ 3\sin\tfrac{3\pi}{2}=-3;\quad n=5:\ 5\cdot1;\quad n=7:\ 7\cdot(-1).
честноПо конечному набору членов формула определяется неоднозначно — любая подходящая есть ответ. Но ждут красивую. Вариант без синуса, n⋅1−(−1)n2⋅(−1)(n−1)/2n\cdot\frac{1-(-1)^n}{2}\cdot(-1)^{(n-1)/2}, хуже: дробная степень при чётных nn.

6Наибольший / наименьший член

Метод один: понять, где последовательность растёт, где убывает. Три инструмента, по предпочтению:

  1. Выделить полный квадрат — если многочлен второй степени.
  2. Знак разности xn+1−xnx_{n+1}-x_n (или отношения xn+1/xnx_{n+1}/x_n для положительных).
  3. Считать xn=f(n)x_n=f(n), исследовать ff на R\mathbb R производной — и проверить целые соседи точки экстремума: экстремум функции не обязан попадать в целую точку.
спросить«Зачем проверять соседей?» Пример: xn=(n−2,5)2x_n=(n-2{,}5)^2. Минимум ff в t=2,5t=2{,}5, а наименьшие члены — x2=x3=0,25x_2=x_3=0{,}25.

слайд 7Найти наибольший / наименьший член

xn=6n−n2−5x_n=6n-n^2-5
=−(n2−6n+5)=−(n−1)(n−5)=4−(n−3)2=-(n^2-6n+5)=-(n-1)(n-5)=4-(n-3)^2. Максимум при n=3n=3: x3=4x_3=4. Снизу не ограничена, xn→−∞x_n\to-\infty, наименьшего нет.
xn=e 10n−n2−24x_n=e^{\,10n-n^2-24}
Показатель: −(n2−10n+24)=−(n−4)(n−6)=1−(n−5)2-(n^2-10n+24)=-(n-4)(n-6)=1-(n-5)^2. Экспонента монотонна, максимум там же, где у показателя, n=5n=5: x5=ex_5=e. Снизу: xn>0x_n>0, xn→0x_n\to0, inf⁡=0\inf=0, наименьшего нет.
ловушкаСтудент начнёт дифференцировать e…e^{\dots}. Можно, но лишнее: монотонность экспоненты позволяет смотреть только на показатель.

слайд 14Те же вопросы

xn=n9+nx_n=\dfrac{\sqrt n}{9+n}
f(t)=t9+tf(t)=\frac{\sqrt t}{9+t}, t>0t>0: f′(t)=9+t2t−t(9+t)2=9−t2t (9+t)2. f'(t)=\frac{\frac{9+t}{2\sqrt t}-\sqrt t}{(9+t)^2}=\frac{9-t}{2\sqrt t\,(9+t)^2}. Растёт до t=9t=9, убывает после. Девять — целое: max⁡=x9=318=16\max=x_9=\tfrac{3}{18}=\tfrac16. Соседи всё равно: x8=817≈0,1664x_8=\frac{\sqrt8}{17}\approx0{,}1664, x10=1019≈0,1664x_{10}=\frac{\sqrt{10}}{19}\approx0{,}1664, x9≈0,1667x_9\approx0{,}1667.
Наименьшего нет: x1=0,1x_1=0{,}1, но xn→0x_n\to0, и уже при n>81n>81 xn<0,1x_n<0{,}1 (решить n9+n<110  ⟺  (n−1)(n−9)>0\frac{\sqrt n}{9+n}<\frac1{10}\iff(\sqrt n-1)(\sqrt n-9)>0). inf⁡=0\inf=0.
ловушка«x1=110x_1=\frac1{10} — наименьший, дальше растёт». Нет: дальше начинает убывать к нулю и проходит ниже x1x_1.
xn=2n+512n2x_n=2n+\dfrac{512}{n^2}
f(t)=2t+512t2f(t)=2t+\frac{512}{t^2}, f′(t)=2−1024t3=0  ⟺  t3=512  ⟺  t=8f'(t)=2-\frac{1024}{t^3}=0\iff t^3=512\iff t=8. Убывает до 8, растёт после: min⁡=x8=16+8=24\min=x_8=16+8=24. Соседи: x7≈24,45x_7\approx24{,}45, x9≈24,32x_9\approx24{,}32. Сверху не ограничена.
Десерт — без производной, неравенство о средних
2n+512n2=n+n+512n2 ≥ 3n⋅n⋅512n23=35123=24, 2n+\frac{512}{n^2}=n+n+\frac{512}{n^2}\ \ge\ 3\sqrt[3]{n\cdot n\cdot\frac{512}{n^2}}=3\sqrt[3]{512}=24, равенство при n=512n2  ⟺  n3=512  ⟺  n=8. \text{равенство при } n=\frac{512}{n^2}\iff n^3=512\iff n=8.
десертСтроже и красивее: минимум найден и доказан одной строкой, целочисленность n=8n=8 — подарок.

7Домашнее задание

8Карта первого семестра

Стандартный порядок технического вуза, 16 недель. Семинар идёт классически. Номера параграфов Фихтенгольца — по изданию 1969 г., ±2.

Нед.ТемаКудрявцев-курс т. 1Фихтенгольц т. 1Тренировать
1–2Множества, R\mathbb R, sup/inf, последовательности, ограниченностьгл. 1 § 1–3; гл. 2 § 7§ 1–11доказательства по определению
3–4Предел последовательности: ε\varepsilon–NN, единственность, арифметика, зажатаягл. 2 § 8§ 22–28доказать lim⁡\lim по ε\varepsilon–NN; пределы с nk,an,n!n^k, a^n, n!
5Монотонные, число ee, Вейерштрасс, Штольц§ 8§ 34–35(1+1n)n(1+\frac1n)^n, Кудрявцев § 8
6Подпоследовательности, Больцано–Вейерштрасс, критерий Коши, lim⁡‾\overline{\lim}, lim⁡‾\underline{\lim}§ 8§ 39–41верхний/нижний предел
7–8Предел функции: ε\varepsilon–δ\delta, по Гейне, односторонние, замечательные пределы, oo-малоегл. 3 § 9–10§ 52–60sin⁡xx\frac{\sin x}{x}, (1+x)1/x(1+x)^{1/x}; таблица эквивалентностей
9Непрерывность, разрывы, свойства на отрезкегл. 3 § 11§ 66–82классификация разрывов
10–11Производная: определение, таблица, правила, обратная, сложная, параметрическаягл. 4 § 12–13§ 90–105техника, 50 штук подряд
12Дифференциал, высшие производные, Лейбниц§ 13–14§ 106–120
13Ролль, Лагранж, Коши, Лопиталь§ 15§ 111–118
14Тейлор (Пеано, Лагранж), разложения основных функций§ 16§ 123–127пределы через Тейлора
15–16Исследование функций и построение графика§ 17§ 129–150полный график
важноПервая контрольная обычно на 6–7 неделе: пределы последовательностей, sup/inf, доказательства по определению. На занятиях 2–4 надо закрыть ε\varepsilon–NN насмерть — это то, на чём сыпется весь первый курс.

Если что-то из этого не идёт — напишите, разберём: @DaniilFomin

Задачи и номера параграфов: Кудрявцев, сборник задач и курс, т. 1; Демидович, сборник задач; Фихтенгольц, курс, т. 1 (параграфы по изданию 1969 г.). Формулы отрендерены заранее, страница работает без интернета. · Даниил Фомин · математика онлайн