Материал · первый курс, линейная алгебра

Линейная алгебра и аналитическая геометрия, 1 семестр

Матрицы → определители → обратная → ранг → системы (Гаусс, Крамер, Кронекер–Капелли, ФСР) → векторы → прямая и плоскость. В конце — разбор системы из контрольной.

1. Матрицы

$A = (a_{ij})$, $m \times n$: $m$ строк, $n$ столбцов. Первый индекс — строка.

Сложение и умножение на число — поэлементно, только для одинаковых размеров.

Умножение. $A_{m \times k} \cdot B_{k \times n} = C_{m \times n}$, $c_{ij} = \sum\limits_{s=1}^{k} a_{is} b_{sj}$ — строка на столбец. Внутренние размеры совпадают, внешние дают размер результата. $AB \ne BA$ в общем случае; может быть $AB = 0$ при $A, B \ne 0$. Ассоциативно: $(AB)C = A(BC)$. Дистрибутивно.

Транспонирование $A^T$: строки ↔ столбцы. $(AB)^T = B^T A^T$ — порядок меняется.

Единичная $E$: единицы на диагонали. $AE = EA = A$.

Обратная $A^{-1}$: $AA^{-1} = A^{-1}A = E$. Существует $\iff \det A \ne 0$ (невырожденная). $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$.

Элементарные преобразования строк: (1) переставить две строки; (2) умножить строку на $\lambda \ne 0$; (3) прибавить к строке другую, умноженную на число. Не меняют ранг; меняют определитель предсказуемо (см. ниже); систему переводят в равносильную.

2. Определители

$$\begin{vmatrix} a & b \ c & d \end{vmatrix} = ad - bc, \qquad \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \ b_1 & b_2 & b_3 \ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} = a_1 b_2 c_3 + a_2 b_3 c_1 + a_3 b_1 c_2 - a_3 b_2 c_1 - a_2 b_1 c_3 - a_1 b_3 c_2$$

(правило треугольников / Саррюса: три «главные» диагонали с плюсом, три «побочные» с минусом).

Разложение по строке (столбцу): $\det A = \sum\limits_{j} a_{ij} A_{ij}$, где $A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ — алгебраическое дополнение, $M_{ij}$ — минор (определитель без $i$-й строки и $j$-го столбца). Раскладывать по строке, где больше нулей.

Свойства (всё — и для строк, и для столбцов):

1. $\det A^T = \det A$.
2. Перестановка двух строк меняет знак.
3. Общий множитель строки выносится за определитель. $\det(\lambda A) = \lambda^n \det A$ для $n \times n$.
4. Две одинаковые или пропорциональные строки $\Rightarrow \det = 0$. Нулевая строка $\Rightarrow \det = 0$.
5. Прибавление к строке другой строки, умноженной на число, не меняет определитель. Это и есть рабочий приём: привести к треугольному виду, тогда $\det =$ произведение диагонали.
6. $\det(AB) = \det A \cdot \det B$. $\det A^{-1} = 1/\det A$.
7. Сумма произведений элементов строки на алгебраические дополнения другой строки равна нулю.

Треугольная (диагональная) матрица: $\det =$ произведение диагональных элементов.

3. Обратная матрица

Через присоединённую: $A^{-1} = \dfrac{1}{\det A}, \widetilde{A}^{,T}$, где $\widetilde{A} = (A_{ij})$ — матрица алгебраических дополнений. Транспонировать не забыть. Для $2 \times 2$: $$\begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \ -c & a \end{pmatrix}$$ — диагональ поменять местами, побочную — сменить знак.

Через Гаусса: $[A \mid E] \xrightarrow{\text{строки}} [E \mid A^{-1}]$. Для $3 \times 3$ и больше — быстрее и без ошибок в знаках.

Проверка обязательна: $A A^{-1} = E$. Одно умножение — и вся арифметика проверена.

4. Ранг

$\operatorname{rank} A$ — наибольший порядок ненулевого минора. Равносильно: максимальное число линейно независимых строк (столбцов).

На практике: элементарными преобразованиями строк привести к ступенчатому виду; ранг = число ненулевых строк. Столбцы переставлять тоже можно.

Базисный минор — ненулевой минор порядка $r = \operatorname{rank}$. Теорема о базисном миноре: строки (столбцы), через которые он проходит, линейно независимы; остальные — их линейные комбинации.

$\operatorname{rank} A \le \min(m, n)$. $\operatorname{rank}(AB) \le \min(\operatorname{rank} A, \operatorname{rank} B)$. Для квадратной $n \times n$: $\operatorname{rank} = n \iff \det \ne 0$.

5. Системы линейных уравнений

$Ax = b$; $A$ — матрица $m \times n$, $b$ — столбец правых частей, $[A \mid b]$ — расширенная. $m$ уравнений, $n$ неизвестных.

Кронекер–Капелли. Система совместна $\iff \operatorname{rank} A = \operatorname{rank}[A \mid b]$. Если совместна и $r = \operatorname{rank}$: $r = n$ — единственное решение; $r < n$ — бесконечно много, $n - r$ свободных неизвестных.

Признак несовместности при Гауссе: появляется строка $(0\ 0 \dots 0 \mid c)$, $c \ne 0$, то есть уравнение $0 = c$.

Метод Гаусса. Прямой ход: расширенную матрицу — к ступенчатому виду. Ведущий элемент выбирать удобный (единицу или маленький); строки переставлять можно; столбцы переставлять — только с пометкой, какие переменные поменялись местами. Обратный ход: снизу вверх выражаем базисные переменные (при ведущих элементах) через свободные (остальные). Ответ: общее решение — базисные через свободные, свободные $= C_1, C_2, \dots$; либо в векторной форме $x = x_{\text{частн}} + C_1 e_1 + \dots + C_{n-r} e_{n-r}$.

Приём против больших чисел: прежде чем делить, вычесть соседние строки друг из друга — коэффициенты, отличающиеся на единицы, дают строку из маленьких чисел, и она становится ведущей. См. разбор в конце.

Крамер — только для $n \times n$ с $\det A \ne 0$: $x_i = \dfrac{\Delta_i}{\Delta}$, где $\Delta_i$ — определитель с $i$-м столбцом, заменённым на $b$. Для $n \ge 4$ — не руками.

Матричный метод — то же условие: $x = A^{-1} b$.

Однородная система $Ax = 0$: всегда совместна (нулевое решение). Нетривиальные решения $\iff \operatorname{rank} A < n$; для квадратной — $\iff \det A = 0$. ФСР (фундаментальная система решений) — $n - r$ линейно независимых решений $e_1, \dots, e_{n-r}$. Строятся так: свободным переменным по очереди даём $(1, 0, \dots, 0)$, $(0, 1, \dots, 0)$, …, базисные пересчитываем. Общее решение однородной: $x = C_1 e_1 + \dots + C_{n-r} e_{n-r}$. Структура решений неоднородной: $x_{\text{общ}} = x_{\text{частн}} + x_{\text{общ.однор}}$. Разность двух решений неоднородной — решение однородной.

6. Линейная зависимость, базис

Векторы $a_1, \dots, a_k$ линейно зависимы $\iff$ существует нетривиальная комбинация $\lambda_1 a_1 + \dots + \lambda_k a_k = 0$ $\iff$ один из них выражается через остальные $\iff$ ранг матрицы из этих векторов $< k$.

Базис пространства — линейно независимая система, через которую выражается всё. Число векторов в базисе — размерность. В $\mathbb{R}^n$ любые $n$ линейно независимых векторов — базис; $n + 1$ вектор всегда зависимы. Координаты в базисе единственны.

Проверить, что $n$ векторов в $\mathbb{R}^n$ образуют базис: $\det \ne 0$ матрицы из них.

Переход к новому базису: $T$ — матрица перехода (столбцы — новые базисные векторы в старых координатах); $x_{\text{стар}} = T x_{\text{нов}}$, $x_{\text{нов}} = T^{-1} x_{\text{стар}}$.

7. Векторная алгебра

$\vec a = (a_1, a_2, a_3)$, длина $|\vec a| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$, орт $\vec a / |\vec a|$.

Скалярное: $\vec a \cdot \vec b = |\vec a||\vec b|\cos\varphi = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$. Перпендикулярны $\iff \vec a \cdot \vec b = 0$. Угол: $\cos\varphi = \dfrac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a||\vec b|}$. Проекция $\operatorname{пр}_{\vec b}\vec a = \dfrac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec b|}$.

Векторное: $\vec a \times \vec b = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \ a_1 & a_2 & a_3 \ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}$; $|\vec a \times \vec b| = |\vec a||\vec b|\sin\varphi$ = площадь параллелограмма (треугольника — половина). Перпендикулярен обоим, правая тройка. $\vec a \times \vec b = -\vec b \times \vec a$. Коллинеарны $\iff \vec a \times \vec b = 0 \iff$ координаты пропорциональны.

Смешанное: $(\vec a, \vec b, \vec c) = (\vec a \times \vec b) \cdot \vec c = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \ b_1 & b_2 & b_3 \ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}$ = объём параллелепипеда со знаком (тетраэдра — $\tfrac16$). Компланарны $\iff = 0$. Циклическая перестановка знак не меняет.

8. Прямая и плоскость

Плоскость. Общее: $Ax + By + Cz + D = 0$, нормаль $\vec n = (A, B, C)$. Через точку $M_0$ с нормалью: $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$. Через три точки: определитель из $(\vec{M_0M}, \vec{M_0M_1}, \vec{M_0M_2}) = 0$. Расстояние от точки до плоскости: $d = \dfrac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$. Угол между плоскостями — угол между нормалями. Параллельны $\iff$ нормали коллинеарны; перпендикулярны $\iff \vec n_1 \cdot \vec n_2 = 0$.

Прямая в пространстве. Каноническая: $\dfrac{x - x_0}{l} = \dfrac{y - y_0}{m} = \dfrac{z - z_0}{n}$, направляющий $\vec s = (l, m, n)$. Параметрическая: $x = x_0 + lt$, … Как пересечение двух плоскостей: $\vec s = \vec n_1 \times \vec n_2$. Через две точки: $\vec s = \vec{M_1 M_2}$. Расстояние от точки до прямой: $d = \dfrac{|\vec{M_0 M_1} \times \vec s|}{|\vec s|}$. Угол прямой с плоскостью: $\sin\varphi = \dfrac{|\vec s \cdot \vec n|}{|\vec s||\vec n|}$. Прямая $\parallel$ плоскости $\iff \vec s \cdot \vec n = 0$.

Прямая на плоскости. $Ax + By + C = 0$, нормаль $(A, B)$, направляющий $(-B, A)$. $y = kx + b$, $k = \operatorname{tg}\alpha$. Через две точки: $\dfrac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \dfrac{y - y_1}{y_2 - y_1}$. Расстояние от точки: $\dfrac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$. Угол: $\operatorname{tg}\varphi = \left|\dfrac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2}\right|$; перпендикулярны $\iff k_1 k_2 = -1$.

9. Разбор системы из контрольной

$$\begin{cases} 45x_1 - 28x_2 + 34x_3 - 52x_4 = 9 \ 36x_1 - 23x_2 + 29x_3 - 43x_4 = 3 \ 35x_1 - 21x_2 + 28x_3 - 45x_4 = 16 \ 47x_1 - 32x_2 + 36x_3 - 48x_4 = 17 \ 27x_1 - 19x_2 + 22x_3 - 35x_4 = 6 \end{cases}$$

Пять уравнений, четыре неизвестных. Вопрос по Кронекеру–Капелли: совпадают ли ранги. Числа большие — сначала вычитаем соседние строки, а не делим на 45.

$r_2 - r_3$: $(1,\ -2,\ 1,\ 2 \mid -13)$. $r_4 - r_1$: $(2,\ -4,\ 2,\ 4 \mid 8)$.

Левые части: вторая строка — ровно удвоенная первая. Правые: $8$ и $2 \cdot (-13) = -26$. Не совпадают. Вычитаем: $(r_4 - r_1) - 2(r_2 - r_3) = (0,\ 0,\ 0,\ 0 \mid 34)$, то есть $0 = 34$.

Система несовместна. $\operatorname{rank} A = 4$, $\operatorname{rank}[A \mid b] = 5$. Ответ: решений нет.

Проверка вторым способом: определитель расширенной матрицы $5 \times 5$ равен $-24,480 \ne 0$, значит все пять строк расширенной независимы, а у $A$ всего четыре столбца — ранги разные.

Что здесь проверяют. Не умение делить 45 на 36, а два навыка: увидеть, что строки левой части зависимы, и понять, что зависимость слева при независимости справа — это и есть противоречие. Полный Гаусс с дробями занял бы страницу и, скорее всего, привёл бы к арифметической ошибке; два вычитания — четыре строчки.

Если в задании другая правая часть (например, вместо $17$ стоит $14$), система может стать совместной — тогда тот же приём даёт ведущую строку $(1, -2, 1, 2 \mid -13)$, и дальше обычный Гаусс с маленькими числами. Уточнить, что именно в условии.

Типичные ошибки в Гауссе, на которых сыпятся:

• потеряли знак при вычитании строк — проверять каждую новую строку подстановкой в одно из уравнений;
• переставили столбцы и забыли, что переменные поменялись местами;
• строку $(0\ 0\ 0\ 0 \mid c)$ вычеркнули как «нулевую» — она не нулевая, она противоречие;
• при $r < n$ ответ записали как одно решение, забыв свободные переменные;
• для ФСР дали свободным переменным не единицы по очереди, а «какие-нибудь числа» — получили решения, но не убедились в независимости.

Если что-то из этого не идёт — напишите, разберём: @DaniilFomin