Даниил Фомин · математика онлайн Написать в Telegram

Материал · школьная база перед математическим анализом

База за 4 недели

Даниил Фомин · четыре листа по 10 задач с ответами: функции, графики, производная, экстремумы · 2026

Школьная математика, без которой матан первого курса не решается: функции и графики → преобразования, показательная, логарифм, тригонометрия → производная → экстремумы. По листу в неделю, по 10 задач. Ответ открывается по кнопке — сначала решай.

Как работать15 минут видео → 15 минут Desmos → задачи. Не наоборот.

Desmosdesmos.com/calculator — вбивай каждую функцию из задачи и смотри, прежде чем считать.

ПроверкаНа занятии 20 минут — разбор того, что не сошлось. Что сошлось — не трогаем.

Неделя 1 · Функции Неделя 2 · Преобразования, exp, log, тригонометрия Неделя 3 · Производная Неделя 4 · Экстремумы

1Функции и графики

Область определения, нули, знак, чётность, множество значений, композиция, обратная функция, базовые графики.

Смотреть: Трушин — «Как построить график функции» (ТрушинLive #013) и «Обратная функция» (матан #024). Desmos: построить

y=x^2,\ x^3,\ \sqrt x,\ 1/x,\ |x|,\ 2^x,\ \ln x

на одном экране и запомнить, как они выглядят.

1Найти область определения

f(x)=\dfrac{\sqrt{x-3}}{x-5}

Под корнем

\ge0

x\ge3

. Знаменатель

\ne0

x\ne5

. Итого

[3,5)\cup(5,+\infty)

ответ

2Найти область определения

f(x)=\ln(4-x^2)

4-x^2>0\iff x^2<4\iff -2<x<2

. Ответ

(-2,2)

ответ

f(x)=x^2-5x+6

. Найти нули и промежутки, где

f>0

f<0

f=(x-2)(x-3)

, нули

2

3

. Ветви вверх:

f>0

при

x<2

x>3

;

f<0

на

(2,3)

. Метод интервалов: знаки

+\,-\,+

ответ

4Определить чётность: а)

x^3-x

; б)

x^2+\cos x

; в)

x+1

; г)

\dfrac{\sin x}{x}

а) нечётная (

f(-x)=-f(x)

); б) чётная; в) ни та ни другая (

f(-1)=0

f(1)=2

); г) чётная (нечётное на нечётное).

ответ

5Нарисовать от руки

y=x^2

y=x^3

y=\sqrt x

y=1/x

y=|x|

. Какие проходят через

(1,1)

? Какие через

(-1,-1)

Через

(1,1)

— все пять. Через

(-1,-1)

— только

x^3

1/x

(нечётные).

\sqrt x

слева от нуля не существует,

x^2

|x|

дают

+1

ответ

6Парабола: ветви вверх, вершина

(2,-1)

, проходит через

(0,3)

. Написать формулу.

y=a(x-2)^2-1

; подставляем

(0,3)

3=4a-1\Rightarrow a=1

y=(x-2)^2-1=x^2-4x+3

ответ

7Найти множество значений

y=x^2-4x+7

Выделить квадрат:

y=(x-2)^2+3\ge3

. Ответ

[3,+\infty)

. Вершина при

x=-\frac b{2a}=2

ответ

f(x)=x^2

g(x)=x+1

. Найти

f(g(x))

g(f(x))

. Они равны?

f(g(x))=(x+1)^2

\ g(f(x))=x^2+1

. Не равны — композиция некоммутативна. Проверка:

x=1

4

2

ответ

9Найти обратную функцию: а)

y=2x-3

; б)

y=x^3

; в)

y=x^2

при

x\ge0

. Почему для

y=x^2

на всей прямой обратной нет?

а)

y=\dfrac{x+3}2

; б)

y=\sqrt[3]x

; в)

y=\sqrt x

. На всей прямой

x^2

не монотонна:

2

-2

дают

4

, обратная не может вернуть оба.

ответ

10Найти точки пересечения

y=x^2

y=x+2

. Нарисовать.

x^2=x+2\iff x^2-x-2=0\iff x=-1,\ 2

. Точки

(-1,1)

(2,4)

. Между ними прямая выше параболы.

ответ

2Преобразования графиков · показательная · логарифм · тригонометрия

Сдвиги и растяжения, $a^x$ и $\log_a x$ , единичная окружность, простейшие уравнения.

Смотреть: Трушин — «Показательная функция» (матан #026), «Логарифмическая и степенная» (матан #027), «Тригонометрия: с нуля и до ЕГЭ» (ТрушинLive #030) — последнее длинное, смотреть первую треть. Desmos:

y=a(x-b)^2+c

с ползунками

a,b,c

;

y=A\sin(kx+\varphi)

с ползунками.

1Как из графика

y=x^2

получить

y=(x+3)^2-2

? Где вершина?

Сдвиг влево на 3 (знак внутри скобки — наоборот), вниз на 2. Вершина

(-3,-2)

ответ

2Описать

y=-2(x-1)^2+4

: все преобразования, максимум или минимум, его значение.

Вправо на 1, растяжение по

y

в 2 раза, отражение относительно оси

x

(знак минус), вверх на 4. Ветви вниз ⇒ максимум

4

при

x=1

. Нули:

(x-1)^2=2

x=1\pm\sqrt2

ответ

3Нарисовать

y=|x-2|

y=|x|-2

. В чём разница?

|x-2|

— «галочка» с вершиной

(2,0)

, сдвиг вправо.

|x|-2

— вершина

(0,-2)

, сдвиг вниз, нули в

\pm2

. Внутри модуля — по горизонтали, снаружи — по вертикали.

ответ

4Решить: а)

2^x=\dfrac18

; б)

3^{x+1}=27

; в)

5^{2x}=1

; г)

4^x=8

а)

x=-3

; б)

x+1=3

x=2

; в)

2x=0

x=0

; г)

2^{2x}=2^3

x=\frac32

. Приводим к одному основанию, приравниваем показатели (монотонность).

ответ

5Решить: а)

\log_2(x-1)=3

; б)

\log_3x=-2

; в)

\lg x+\lg 4=2

а)

x-1=8

x=9

(ОДЗ

x>1

✓); б)

x=3^{-2}=\frac19

; в)

\lg 4x=2

4x=100

x=25

. Всегда проверять ОДЗ: аргумент логарифма

>0

ответ

6Сравнить без калькулятора: а)

2^{100}

10^{30}

; б)

\log_23

1{,}5

; в)

\log_{0{,}5}3

0

а)

2^{10}=1024>10^3\Rightarrow 2^{100}>10^{30}

. б)

2^{1{,}5}=\sqrt8\approx2{,}83<3\Rightarrow\log_23>1{,}5

. в) основание

<1

, аргумент

>1

⇒ логарифм отрицательный:

\log_{0{,}5}3<0

ответ

7Множество значений: а)

y=2^x

; б)

y=\ln x

; в)

y=\sin x

; г)

y=3+2\cos x

; д)

y=x^2+1

а)

(0,+\infty)

; б)

\mathbb R

; в)

[-1,1]

; г)

[1,5]

; д)

[1,+\infty)

ответ

8Решить (

n\in\mathbb Z

): а)

\sin x=\frac12

; б)

\cos x=-\frac{\sqrt2}2

; в)

\operatorname{tg}x=1

; г)

\sin x=2

а)

x=(-1)^n\frac\pi6+\pi n

; б)

x=\pm\frac{3\pi}4+2\pi n

; в)

x=\frac\pi4+\pi n

; г) решений нет,

|\sin x|\le1

ответ

9Период и график: а)

y=\sin2x

; б)

y=2\sin(x-\frac\pi3)

; в)

y=\cos\frac x2

а) период

\pi

(сжатие по

x

в 2 раза); б) амплитуда 2, сдвиг вправо на

\frac\pi3

, период

2\pi

; в) период

4\pi

(растяжение по

x

в 2 раза). Период

\sin(kx)

равен

\frac{2\pi}{|k|}

ответ

10Вычислить:

\sin\frac{5\pi}6

\cos\frac{4\pi}3

\operatorname{tg}\big(-\frac\pi4\big)

\arcsin\big(-\frac12\big)

\arccos\big(-\frac12\big)

\operatorname{arctg}\sqrt3

\frac12

;

-\frac12

;

-1

;

-\frac\pi6

;

\frac{2\pi}3

;

\frac\pi3

. Первые три — по окружности (четверть даёт знак, приведение — величину); арксинус живёт в

[-\frac\pi2,\frac\pi2]

, арккосинус — в

[0,\pi]

ответ

3Производная: смысл и техника

Определение через предел, геометрический и физический смысл, таблица, правила, касательная.

Смотреть: 3Blue1Brown, «Essence of Calculus», глава 1 (дальше по плейлисту главы 2–3, субтитры). Трушин — «Производная. Начало» (Ботай со мной #056), затем «Определение производной» (матан #030), «Производная суммы, произведения, частного» (#031), «Производная сложной функции» (#035). Desmos: вбить

f(x)=x^2

y=f'(a)(x-a)+f(a)

с ползунком

a

— касательная едет по параболе.

1По определению найти

f'(x)

для

f(x)=x^2

\dfrac{(x+h)^2-x^2}h=\dfrac{2xh+h^2}h=2x+h\to2x

при

h\to0

f'(x)=2x

ответ

2По определению найти

f'(x)

для

f(x)=\dfrac1x

\dfrac{\frac1{x+h}-\frac1x}h=\dfrac{x-(x+h)}{h\,x(x+h)}=\dfrac{-1}{x(x+h)}\to-\dfrac1{x^2}

ответ

3Найти производные: а)

3x^4-2x+7

; б)

\sqrt x

; в)

\dfrac1{x^3}

; г)

5e^x-\ln x

; д)

\sqrt[3]{x}

а)

12x^3-2

; б)

\dfrac1{2\sqrt x}

; в)

x^{-3}\Rightarrow-3x^{-4}=-\dfrac3{x^4}

; г)

5e^x-\dfrac1x

; д)

x^{1/3}\Rightarrow\frac13x^{-2/3}=\dfrac1{3\sqrt[3]{x^2}}

ответ

4Произведение: а)

(x^2\sin x)'

; б)

(xe^x)'

; в)

(x\ln x)'

а)

2x\sin x+x^2\cos x

; б)

e^x+xe^x=e^x(x+1)

; в)

\ln x+1

ответ

5Частное: а)

\Big(\dfrac{x+1}{x-1}\Big)'

; б)

\Big(\dfrac{\sin x}{x}\Big)'

; в)

(\operatorname{tg}x)'

через

\frac{\sin}{\cos}

а)

\dfrac{(x-1)-(x+1)}{(x-1)^2}=\dfrac{-2}{(x-1)^2}

; б)

\dfrac{x\cos x-\sin x}{x^2}

; в)

\dfrac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=\dfrac1{\cos^2x}

ответ

6Сложная функция: а)

(\sin3x)'

; б)

\big(e^{x^2}\big)'

; в)

\big(\ln(x^2+1)\big)'

; г)

\big(\sqrt{1-x^2}\big)'

; д)

\big((2x+1)^{10}\big)'

а)

3\cos3x

; б)

2xe^{x^2}

; в)

\dfrac{2x}{x^2+1}

; г)

\dfrac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}=-\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}

; д)

10(2x+1)^9\cdot2=20(2x+1)^9

. Внешняя по внутренней, умножить на производную внутренней.

ответ

7Написать уравнение касательной к

y=x^3

в точке

x_0=1

. Где она пересекает ось

x

f(1)=1

f'(x)=3x^2

f'(1)=3

y=1+3(x-1)=3x-2

. Ось

x

x=\frac23

ответ

8Точка движется по закону

s(t)=t^3-6t^2+9t

(метры, секунды). Найти скорость и ускорение; когда скорость равна нулю?

v=s'=3t^2-12t+9=3(t-1)(t-3)

: ноль при

t=1

t=3

— точка разворачивается.

a=v'=6t-12

. При

t=2

ускорение 0, скорость

-3

(движется назад).

ответ

f(x)=x^3-3x

. Найти, где

f'>0

и где

f'<0

. Что это значит для графика?

f'=3x^2-3=3(x-1)(x+1)

f'>0

при

x<-1

x>1

— растёт;

f'<0

на

(-1,1)

— убывает. В

x=-1

— горб (max,

f=2

), в

x=1

— яма (min,

f=-2

ответ

f(x)=x^4-2x^2

. В каких точках касательная горизонтальна? Нарисовать график (чётная функция!).

f'=4x^3-4x=4x(x-1)(x+1)=0\Rightarrow x=0,\pm1

f(0)=0

— локальный max,

f(\pm1)=-1

— минимумы. Буква W.

ответ

4Экстремумы и исследование функции

Критические точки, знак производной, наибольшее/наименьшее на отрезке, текстовые задачи на оптимум, выпуклость, асимптоты — и задача с семинара.

Смотреть: Трушин — «График производной» (ЕГЭ, задание 8) — короткий, ровно про связь знака f′ и роста f; «Дифференциал» (матан #032) — по желанию. Весь курс: плейлист «Математический анализ» Трушина. Desmos: вбивать

f

f'

рядом и смотреть: где

f'

пересекает ноль — там у

f

горб или яма.

f(x)=x^2-6x+5

. Найти экстремум через производную и сверить с вершиной параболы.

f'=2x-6=0\Rightarrow x=3

f(3)=-4

f''=2>0

— минимум. Вершина:

x=-\frac b{2a}=3

. Совпало — производная не противоречит школе, она её обобщает.

ответ

f(x)=x^3-3x^2+2

. Найти точки max и min и значения в них.

f'=3x^2-6x=3x(x-2)

. Знаки:

+

на

(-\infty,0)

-

на

(0,2)

+

на

(2,\infty)

x=0

: max,

f=2

x=2

: min,

f=-2

ответ

f(x)=x+\dfrac4x

x>0

. Найти минимум. Проверить неравенством о средних.

f'=1-\dfrac4{x^2}=0\Rightarrow x=2

f(2)=4

; при

x<2

убывает, при

x>2

растёт — min. Проверка:

x+\frac4x\ge2\sqrt{x\cdot\frac4x}=4

, равенство при

x=\frac4x

x=2

ответ

4Найти наибольшее и наименьшее значения

f(x)=x^3-3x

на отрезке

[0,2]

Критические:

f'=3x^2-3=0\Rightarrow x=\pm1

; в отрезок попадает

x=1

. Считаем в кандидатах:

f(0)=0

f(1)=-2

f(2)=2

. Наименьшее

-2

, наибольшее

2

. Концы отрезка — всегда кандидаты.

ответ

f(x)=xe^{-x}

. Найти максимум. Что с функцией при

x\to+\infty

f'=e^{-x}-xe^{-x}=e^{-x}(1-x)=0\Rightarrow x=1

f(1)=\frac1e

— максимум (слева

+

, справа

-

). При

x\to+\infty

экспонента побеждает:

f\to0

ответ

f(x)=x\ln x

x>0

. Найти минимум.

f'=\ln x+1=0\Rightarrow x=e^{-1}=\frac1e

f=\frac1e\cdot(-1)=-\frac1e

. Минимум: слева

f'<0

, справа

>0

ответ

7Из проволоки длиной 40 см согнуть прямоугольник наибольшей площади. Какой?

Стороны

x

20-x

S=x(20-x)=20x-x^2

S'=20-2x=0\Rightarrow x=10

. Квадрат

10\times10

S=100

. Схема любой такой задачи: выразить через одну переменную — производная — проверить, что это max.

ответ

f(x)=x^3-3x^2

. Найти промежутки выпуклости и точку перегиба.

f''=6x-6=0\Rightarrow x=1

. При

x<1

f''<0

— выпукла вверх (

\cap

); при

x>1

f''>0

— вниз (

\cup

). Перегиб в

(1,-2)

ответ

f(x)=\dfrac{x^2+1}x

. Найти асимптоты.

f=x+\frac1x

. Вертикальная

x=0

(при

x\to0^+

f\to+\infty

). Наклонная:

k=\lim\frac fx=1

b=\lim(f-x)=\lim\frac1x=0

⇒

y=x

. График — две ветви, прижимающиеся к прямой

y=x

ответ

10Задача с семинара. Найти наибольший член

x_n=\dfrac{\sqrt n}{9+n}

и наименьший член

x_n=2n+\dfrac{512}{n^2}

— двумя способами: без производной и с ней.

а) Без производной.

t=\sqrt n

\dfrac{t}{9+t^2}\le\dfrac16

, так как

9+t^2\ge6t

(о средних), равенство при

t=3

n=9

\max=x_9=\frac16

2n+\dfrac{512}{n^2}=n+n+\dfrac{512}{n^2}\ge3\sqrt[3]{512}=24

, равенство при

n=\frac{512}{n^2}

n=8

\min=x_8=24

.
б) С производной.

f(t)=\frac{\sqrt t}{9+t}

f'=\frac{9-t}{2\sqrt t(9+t)^2}

: растёт до

t=9

, убывает после ⇒

n=9

g(t)=2t+\frac{512}{t^2}

g'=2-\frac{1024}{t^3}=0\Rightarrow t=8

⇒

n=8

.
Экстремум

f

попал в целую точку, поэтому ответ тот же; иначе пришлось бы проверять двух целых соседей.

ответ

Зачем это всё. Последовательность — это функция от натурального

n

. Всё, что ты умеешь делать с функциями (рисовать, находить, где растёт, где максимум), автоматически работает и с последовательностями. Поэтому неделя 4 — это уже семинар первого курса, только на нормальном языке.

Ответы открываются по кнопке «ответ» или все сразу кнопкой над листом. Ссылка на теорию — «Шпора: матанализ, 1 семестр», разделы 2, 3, 8, 11.

Если что-то из этого не идёт — напишите, разберём: @DaniilFomin

Даниил Фомин · математика онлайн