Как выглядит каждая школьная функция, что про неё надо помнить, и как графики двигаются. Шесть страниц вместо трёх часов видео. Проверять — в Desmos.
Оранжевый пунктир — асимптота (график к ней прижимается, но не касается). Синий пунктир — исходная функция до преобразования.
Степенные и базовые
y = x
Прямая через 0 под 45°
нечётная, растёт всюду
ООФ ℝ, значения ℝ
y = x²
Парабола, вершина (0,0)
чётная; min 0
убывает при x<0, растёт при x>0
значения [0,+∞)
y = x³
нечётная, растёт всюду
в нуле — перегиб (плоско)
значения ℝ
y = √x
ООФ [0,+∞), значения [0,+∞)
растёт, но всё медленнее
половина параболы, положенной набок
y = 1/x
Гипербола, две ветви
нечётная; ООФ x≠0
асимптоты: оси x и y
убывает на каждой ветви
y = 1/x²
чётная, всегда >0
ООФ x≠0; в нуле улетает вверх
значения (0,+∞)
y = |x|
«Галочка», вершина (0,0)
чётная; min 0
в нуле производной нет (угол)
y = ∛x
ООФ ℝ, значения ℝ
нечётная, растёт
в нуле касательная вертикальная
Показательная и логарифм
y = 2ˣ, y = eˣ
Через (0,1); всегда >0
растёт (основание >1)
асимптота y=0 слева
значения (0,+∞)
y = (1/2)ˣ
Основание <1 → убывает
зеркало 2ˣ относительно оси y
(1/2)ˣ = 2⁻ˣ
y = ln x, y = log₂x
ООФ (0,+∞), значения ℝ
через (1,0); растёт
асимптота x=0 (уходит в −∞)
обратная к aˣ: зеркало относительно y=x
aˣ и logₐx — зеркала
Обратные функции симметричны
относительно прямой y=x
e^{ln x}=x, ln eˣ=x
Тригонометрические
Единичная окружность
Точка на угле t имеет координаты (cos t, sin t)
cos — по горизонтали, sin — по вертикали
Против часовой — плюс, по часовой — минус
Полный оборот 2π = 360°, поэтому период 2π
0
π/6 30°
π/4 45°
π/3 60°
π/2 90°
π 180°
3π/2 270°
sin
0
1/2
√2/2
√3/2
1
0
−1
cos
1
√3/2
√2/2
1/2
0
−1
0
tg
0
1/√3
1
√3
—
0
—
ctg
—
√3
1
1/√3
0
—
0
Как запомнить синусы: √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2 для 0°, 30°, 45°, 60°, 90°. Косинусы — те же числа задом наперёд. tg = sin/cos.
Знаки по четвертям: sin «+» сверху (I, II), cos «+» справа (I, IV), tg «+» в I и III.
Решения уравнений (n ∈ ℤ): sin x = a → x = (−1)ⁿ·arcsin a + πn cos x = a → x = ±arccos a + 2πn tg x = a → x = arctg a + πn Если |a| > 1 — у sin и cos решений нет.
Главные тождества: sin²x + cos²x = 1; sin 2x = 2 sin x cos x; cos 2x = cos²x − sin²x = 1 − 2sin²x; sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β; cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β.
y = sin x
Период 2π; нечётная
значения [−1,1]
нули: πn; max 1 в π/2+2πn
sin 0 = 0
y = cos x
Период 2π; чётная
значения [−1,1]
нули: π/2+πn; max 1 в 2πn
cos = sin, сдвинутый на π/2 влево
y = tg x
Период π; нечётная
растёт на каждой ветви
асимптоты x=π/2+πn
значения ℝ
y = ctg x
Период π; нечётная
убывает на каждой ветви
асимптоты x=πn
ctg x = 1/tg x
Обратные тригонометрические (арк-функции)
Арк-функция отвечает на вопрос «какой угол?» arcsin a — это угол из [−π/2, π/2], синус которого равен a. Почему именно этот отрезок: на нём синус монотонен, поэтому угол один. arccos берёт углы из [0, π], arctg — из (−π/2, π/2).
y = arcsin x
ООФ [−1,1]
значения [−π/2, π/2]
нечётная, растёт
arcsin(1/2)=π/6, arcsin 1=π/2
y = arccos x
ООФ [−1,1]
значения [0, π]
убывает; не чётная и не нечётная
arccos(−x)=π−arccos x
y = arctg x
ООФ ℝ
значения (−π/2, π/2)
асимптоты y=±π/2; нечётная
arctg 1=π/4, arctg √3=π/3
y = arcctg x
ООФ ℝ
значения (0, π)
убывает; асимптоты y=0 и y=π
arcctg x = π/2 − arctg x
x
−1
−√3/2
−√2/2
−1/2
0
1/2
√2/2
√3/2
1
arcsin x
−π/2
−π/3
−π/4
−π/6
0
π/6
π/4
π/3
π/2
arccos x
π
5π/6
3π/4
2π/3
π/2
π/3
π/4
π/6
0
x
−√3
−1
−1/√3
0
1/√3
1
√3
arctg x
−π/3
−π/4
−π/6
0
π/6
π/4
π/3
arcsin(−x) = −arcsin x, arctg(−x) = −arctg x, но arccos(−x) = π − arccos x. И всегда: arcsin x + arccos x = π/2.
Преобразования графиков: одно правило на всё
Снаружи от f — двигаем по вертикали, как написано. Внутри f — по горизонтали, наоборот. Это единственное правило; всё ниже — его случаи.
2. Решить f′(x) = 0 (и отметить, где f′ не существует). Это кандидаты — «критические точки».
3. Нанести их на прямую, расставить знаки f′ на промежутках (подстановкой любой точки).
4. Знак + → −: максимум. Знак − → +: минимум. Не меняется: не экстремум.
5. Значение экстремума — подставить x в f (не в f′).
Наибольшее/наименьшее на отрезке [a, b]: значения в критических точках внутри отрезка и на концах a, b — выбрать.
Текстовая задача «наибольшая площадь / наименьший расход»: выразить величину через одну переменную → пункты 1–5.
Смысл в двух словах: производная — скорость изменения. Положительная — функция растёт, отрицательная — падает, ноль — момент остановки (верх горба или дно ямы).
Касательная = производная
f′(x₀) — наклон касательной в точке
y = x², в точке 1: f′ = 2
касательная y = 1 + 2(x − 1)
f′>0 — идёт вверх, f′<0 — вниз
f и f′ рядом
f′ = 3x² − 3 = 0 при x = ±1
f′: + → − в x=−1 ⇒ у f горб (max 2)
f′: − → + в x=1 ⇒ у f яма (min −2)
где f′ выше оси — f растёт
f′ = 0, но экстремума нет
f′(0) = 0, но знак f′ не меняется
f растёт и до нуля, и после
f′ = 0 — только кандидат
экстремум там, где f′ меняет знак
Наибольшее на отрезке
f = x³ − 3x на [0, 2]
кандидаты: концы 0, 2 и точка f′=0, то есть x=1
считаем три значения: 0, −2, 2
наибольшее 2, наименьшее −2
Что спрашивают про любую функцию
ООФ (область определения): где формула имеет смысл — знаменатель ≠ 0, под корнем ≥ 0, под логарифмом > 0
Множество значений: какие y бывают
Нули: где y = 0. Знак: где выше оси, где ниже
Чётность: f(−x) = f(x) — симметрия относительно оси y; f(−x) = −f(x) — относительно начала координат
Монотонность: где растёт, где убывает
Экстремумы: горбы и ямы
Асимптоты: прямые, к которым график прижимается на бесконечности или у разрыва
Формулы и определения полностью — в «Шпоре: матанализ, 1 семестр». Тренировка — «База за 4 недели».
Если что-то из этого не идёт — напишите, разберём: @DaniilFomin
Атлас для повторения перед контрольной, ЕГЭ или первым семестром: графики элементарных функций, правило преобразований, таблица производных. · Даниил Фомин · математика онлайн